Hotmail... Hace mucho que no uso Hotmail en el teléfono. Sí lo usaba con otro cliente de correo y recuerdo que me daba problemas. A partir de ahí empecé a usar más Gmail.
¿Qué aplicación usas en el teléfono para gestionar el correo? Creo que si usas una cuenta de Outlook con Outlook no es necesario comprar la aplicación, con descargarla y usarla es suficiente, en el peor de los casos. Me pasa algo parecido en mi caso personal, que tengo cuatro cuentas de correo en el teléfono y una de ellas antes funcionaba con Gmail y ahora ya no funciona, inicia sesión pero no descarga datos. Tuve que instalar Outlook para que funcionase (cuenta de empresas).