Con el tema de los pilotos no te puedo ayudar, pues nunca lo he probado en mi coche. Sólo quería comentar que, con el motor en marcha, la tensión de trabajo de todo el sistema eléctrico sube, pues el alternador está operativo y fija una tensión de entre 13,5 y 14 voltios.
A motor parado, la tensión que tienes es la de la batería, de entre 11 y 12 voltios si ésta se encuentra en buen estado, si no, incluso puede llegar a ser menor.
En los E46, las luces van controladas por un módulo electrónico que va junto con el interruptor de luces (el que va en el tablier a la izquierda del volante), y todas las luces se activan mediante unos transistores de potencia llamados FETs, que son capaces de reconocer si hay cortocircuito, se ha fundido una lámpara, etc. Por eso, si cambias las lámparas por algo con un consumo o características eléctricas muy distintas, da error.
En el caso que nos ocupa, los LED tienen un consumo mucho menor que una lámpara de incandescencia para dar la misma "luminosidad".
Efectivamente, las luces se atacan con una señal PWM (modulación mediante anchura de pulsos), entre otras cosas permite activar las lámparas de forma "suave" (sin crear picos de corriente cuando el filamento está frío), o incluso "sustituir" una luz de posición fundida mediante por ejemplo la del freno, atenuando la señal (reduciendo el ciclo de trabajo de la señal PWM).
Así a grandes rasgos, es como funciona el sistema, yo también me inclino por pensar que puede ser necesario hacer alguna "trampa" para que te funcionen los pilotos de LEDs con ese módulo.
Lo que me extraña mucho es que te funcionen inicialmente y luego dejen de funcionar, te propongo probar lo siguiente, si aún te queda humor para ello

:
1) probar a mantener la luz de freno encendida un "ratillo" (pongamos 1 ó 2 minutos) a motor parado, sigue funcionando o se apaga también?
2) Una vez con el motor en marcha, lo mismo a ver cuánto tarda en apagarse.
3) Una vez ha sucedido esto, paras el motor y vuelves a pisar el freno, ¿qué sucede? ¿se vuelven a encender inmediatamente o tarda un poco?
Lo pregunto porque parece que el módulo te entre en algún tipo de modo de protección, por algún motivo al cabo de un poco tiempo de estar activando las luces de freno dejan de funcionar. Un posible motivo podría ser que los pilotos que te han vendido tuvieran algún cortocircuito interno o alguna fuga. Lo de probarlos en otro coche no sería mala idea.
Suerte.